THEORIE DBS FONGT10NS ELLLPTIQUES. 179

on aura

a H- c — 1
/20C«\ (—1

•sin am

ce qui est la rne'nie expression analytique ('), au signe pres en
3K. et 3tf, que

/aKa;\ i 2 i/o sina? — a v/<79 sin 3a? •+• 2 v'V28 sin 5a? — ...

sin am ( - ) = ~= — — - — - - ; - ; - —^—r, - s -

\ "^ / yk l — ay cosaa? -f- ay* cos4a? — 2 ^J cosSa? -+-...

en K et K'. On en conclura que £C. sera donnd comme R par 1'in-

tegrale i ..... - •- .............. .• — — • Or, en supposant b different de o,

8 ' M

la valeur imaginaire

ne pourra ^videmment resulter que d'une intdgrale curviligne.
Mais voici tin r^sultat important et.qui subsiste quel que soit le
mode d'intdgration : c'est que les quantity's K et K' ve'rifient la
meme Equation lin^aire du second ordre

(*-*•) ^-.-f.-S*.)^ -*»-.,

dont 1' integrate avec deux constantes arbitraires C et C' est par
suite

'Cette Equation conduit au de"veloppement de K et K/ sous cette
forme : soient

i.3\2,. /i. 3. ..

— - k* -4- . . . -

. . .
a.4/ V a. 4-. .

(') Les relations analogues relativetnent A r.osam(a?)eL darn(a?) sont

/J a
4/ —
V A:' i

COS am I-------- =(- l) 2 1/77 ----------T-------------------jrr-------;------------rr----------------- ,

\ IE / Y K l — 2 $ COS 2 X H- 2?>4 COS 4 X — 2 £>9 COS 0 OS 4-...

, ___, _ /_ i H- a '<> cosaai'

dam

oa en ddduit, en supposant x = o, ce qui concerne y/A et \]k' lorsqu'ou y change
K et K' en £K' et SK'.ravail